PLATONISMO MATEMÁTICO

A expressão "platonismo matemático" foi cunhada por Paul Bernays no seu artigo de 1935, "Sur le platonisme dans les mathématiques". Além de afirmar a existência de entidades abstratas da matemática, como os números, conjuntos e funções, o platonismo matemático caracteriza-se pela tese de que verdades matemáticas são descobertas e não criadas por meio das provas que as demonstram. Por isso, proposições matemáticas não demonstradas, como, por exemplo, a suposição de Goldbach, são consideradas portadoras de um valor de verdade definitivo, mesmo que ainda não saibamos qual, afinal, a nossa limitação epistêmica é um fato contingente e indiferente para o fato matemático bruto. Suspender o tertium non datur é assim a estratégia fundamental do nominalismo matemático na sua versão construtivista.

Admitido o Platonismo Proposicional, a definição de matemática de Russell em Principles como classe de proposições de implicação formal o conduz inevitavelmente a um platonismo matemático. Pois, se por prova se entende uma determinada seqüência de proposições com certas propriedades formais, verdades matemáticas não são criadas, mas sim descobertas — descobre-se, por assim dizer, o "caminho" até elas: "Em suma, todo conhecimento precisa ser descoberto exatamente no mesmo sentido em que Colombo descobriu a Índia Ocidental, e não criamos os números, assim como não criamos os indianos" (PoM, § 427)⁵

O platonismo também traz vantagens técnicas para o logicismo, como por exemplo, na definição de números. Semelhantemente a Frege, Russell define números como conjuntos de conjuntos de mesma cardinalidade. O número 1 é definido como o conjunto de todos os conjuntos unitários (de objetos), o número 2 como o conjunto de todos os conjuntos de pares (de objetos) etc. Mas esse procedimento de definição traz uma dificuldade (IMP, cap. 13). Suponhamos que o universo contenha apenas 9 objetos primitivos. Assim, o número 9 é definido como o conjunto cujo único elemento é o conjunto de todos os objetos que existem. Mas o conjunto que define o número 10 (o conjunto cujos elementos são os conjuntos com 10 elementos) é vazio, pois, como só há 9 objetos, não há nenhum conjunto com 10 objetos. O mesmo ocorre com o 11 e os demais sucessores. Logo, todos os números maiores que 9 seriam idênticos, pois iguais ao conjunto vazio. A aritmética colapsa. Para evitar tal catástrofe aritmética, Russell teria de dispor de um reservatório infinito de objetos.

Uma solução possível seria abdicar da idéia de que os conjuntos básicos só possam conter objetos primitivos e admitir conjuntos de vários níveis diferentes. Assim, Russell analisa uma alternativa que é hoje bem conhecida. No pequeno texto The Axiom of Infinity, de 1904, ele define 0 como o conjunto de coisas que satisfaz uma condição impossível, como, por exemplo, x¹x. O conjunto assim definido subsiste independentemente da existência de qualquer objeto primitivo. Como todo conjunto com a mesma extensão é idêntico, só existe um conjunto vazio. Logo, poder-se-ia definir o número 1 como conjunto que contém como único elemento o conjunto vazio. Desse modo, já teríamos dois conjuntos, que poderiam ser elementos de um terceiro conjunto, e assim ad infinitum. Ou seja, como na definição de Von Neumann, tem-se:

0 = Æ

1 = {Æ}

2 = {Æ, {Æ}}

3 = {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}}

...

Seria cumprir justiça histórica tributar tal procedimento de definição de números originalmente a Russell, sem pretender com isso, é claro, altercar a honestidade intelectual do redescobrimento de Von Neumann. Aliás, o redescobrimento só foi possível devido ao esquecimento ao qual foi condenado tal procedimento pelo próprio Russell. O seu motivo para rejeitá-lo é, como mostro agora, técnico.

Preocupado com a antinomia, Russell introduz no apêndice de Principles uma forma incipiente da teoria dos tipos lógicos (a forma definitiva foi estabelecida entre 1906 e 1908). Fundamentalmente, tal teoria consiste na distinção de diferentes níveis ou tipos lógicos nos quais se organizam os argumentos que podem ser introduzidos em funções proposicionais, que também são estratificadas, garantindo assim uma formação sintática significativa. Cada função proposicional pertence a um nível lógico específico. Como conjuntos são definidos como totalidades dos argumentos que satisfazem uma dada função proposicional, o resultado será a distinção de diferentes níveis de conjuntos. Se aÎC, então a satisfaz a função proposicional "... é um F" (onde F é o conceito-classe⁶ correspondente a C). Um argumento que satisfaz uma função pertence necessariamente a outro tipo lógico que a própria função. Assim, os conjuntos que são elementos de um determinado conjunto pertencem necessariamente a outro tipo lógico que este último. Não há para a teoria dos tipos lógicos conjuntos mistos. Mas no procedimento de Russell e Von Neumann, anteriormente proposto, cada número é um elemento de todos os números subseqüentes: 1Î2, 2Î3, 3Î4... e, assim, cada número pertenceria a um outro nível lógico. Conseqüentemente, a função proposicional "... é o número de cadeiras desta sala" pertenceria a diferentes níveis lógicos, dependendo do número atribuído, por exemplo:

Um é o número de cadeiras desta sala.
Dois é o número de cadeiras desta sala.

Mas se a mesma função proposicional "... é o número de cadeiras desta sala" pertence simultaneamente a diferentes níveis lógicos, a teoria dos tipos e a lógica colapsam. Por isso, o reservatório de infinitos objetos primitivos precisa ser garantido de outra maneira. Em Principles (§ 339), Russell se utiliza de diferentes argumentos de caráter platônico para assegurar o necessário super-povoamento de entidades. O primeiro argumento é uma herança de Platão, no seu diálogo Parmênides: basta supor que o 1 é. Como o Ser atribuído ao 1 não é idêntico ao 1, existem pelo menos duas coisas: o 1 e o Ser. Então, existe o 2. Logo, existem o 1, o Ser e o 2, isso quer dizer: existem 3 coisas. Podemos prosseguir assim ad infinitum.

Um outro argumento é herdado de Bolzano e Dedekind. Esse argumento se baseia no fato de que somente em conjuntos infinitos podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre todos os elementos do conjunto e um subconjunto genuíno dele, como, por exemplo, entre o conjunto dos números naturais e o dos naturais pares. A demonstração da infinitude de entidades no Reino do Ser se dá da seguinte maneira:

Novamente, pode ser provado diretamente, por meio da correlação entre o todo e a parte, que o número de proposições ou conceitos é infinito. Pois para cada termo ou conceito existe uma idéia, a qual é diferente daquilo do que ela é a idéia, mas é, novamente, um termo ou um conceito. Por outro lado, nem todo termo ou conceito é uma idéia. Existem mesas e idéia de mesas; existem números e idéias de números, e assim por diante. Assim, existe uma relação biunívoca entre termos e idéias, mas as idéias são apenas alguns dos termos. Logo, existe um número infinito de termos e de idéias. (Não é necessário supor que as idéias de todos os termos existem, ou que elas fazem parte de alguma mente; basta que elas sejam entidades). (PoM, § 339)

Na verdade, para que este argumento seja válido, é necessário supor que os elementos do contra-domínio (a idéia correspondente a cada termo do domínio) sejam também elementos do domínio (sejam um termo) e tenham uma idéia correspondente. Logo, é necessário supor que o domínio contenha idéias de infinitos níveis: idéias de idéias e idéias de idéias de idéias etc. Mas, dada essa hipótese, bastaria supor a existência de apenas um termo que não é idéia.

Claro que o recurso ao mundo do Ser, e não ao mundo de existentes, livra Russell da acusação de que a sua aritmética seria dependente do mundo empírico. Não surpreende, pois, que Russell cante louvores ao refúgio platônico em The Problems of Philosophy (1912, cap. 9): "O mundo do Ser é imutável, fixo, exato, ele é a alegria do matemático, do lógico e do construtor de sistemas metafísicos e de todos que amam mais a perfeição do que a vida". Mas não há paraíso sem serpentes.

CURIOSIDADE MUITO INTERESSANTE!

Fontes: 

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0100-512X2005000100002 

 em 28/11/2017

https://pt.slideshare.net/marlizestampe/slidos-platnicos

 em 28/11/2017